非链环$R_{e,q}$上的循环码及其在LCD码中的应用

设$\mathbb{F}_q$为阶$q$的有限域,$q$为满足$q=et+1$的素数幂整数,其中$t\geq 1,e\geq 2$为整数。本文研究长度$n$的非链环$R_{e,q}=\mathbb{F}_q[u]/\langle u^e-1\rangle$上的循环码。我们定义Gray映射$\varphi$,并由循环码的Gray像得到许多{最大距离可分}(MDS)和最优$\mathbb{F}_q$-线性码。在特定条件下,我们分别确定了当$\gcd(n,q)\neq 1$与$\gcd(n,q)= 1$时长度$n$的{线性互补对偶}(LCD)码。证明长度$n$的循环码$\mathcal{C}$为LCD码当且仅当其Gray像$\varphi(\mathcal{C})$为$\mathbb{F}_q$上长度$4n$的LCD码。此外,我们给出自由与非自由LCD码存在的条件。并且,我们由$R_{e,q}$上非自由LCD码的Gray像得到许多最优LCD码。