基于一类非链环上 $(\gamma,\Delta)$-循环码的量子码编码与构造

设 $\mathbb{F}_q$ 为包含 $q=p^m$ 个元素的有限域，其中 $p$ 为素数，$m$ 为正整数。本文考虑一类有限非链交换环 $\mathscr{R}_{q,s}=\mathbb{F}_q[v_1,v_2,\dots,v_s]/\langle v_i-v_i^2,v_iv_j=v_jv_i=0\rangle$ 上的 $(\gamma,\Delta)$-循环码，其中 $\gamma$ 是 $\mathscr{R}_{q,s}$ 的自同构，$\Delta$ 是 $\mathscr{R}_{q,s}$ 的 $\gamma$-导子，且对于正整数 $s$ 有 $1\leq i\neq j\leq s$。在此，我们证明了 $\mathscr{R}_{q,s}$ 上长度为 $n$ 的 $(\gamma,\Delta)$-循环码是 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 的 $(\theta,\Im)$-循环码的直和，其中 $\theta$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的自同构，$\Im$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的 $\theta$-导子。此外，建立了 $(\gamma,\Delta)$-循环码和 $(\theta,\Im)$-循环码包含其欧氏对偶的充分必要条件。然后，通过对这些码的 Gray 像应用包含对偶准则，我们得到了许多量子码。这些码具有比现有文献中更好的参数。最后，讨论了所提出量子码的编码和纠错过程。