$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $p^sn$ 的常循环码

设 $\mathbb{F}_{p^m}$ 为基数 $p^m$ 的有限域，$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^2\rangle=\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$，其中 $p$ 为素数，$m$ 为正整数。对于任意 $\lambda\in \mathbb{F}_{p^m}^{\times}$，通过每个码的规范形分解，给出了 $R$ 上长度为 $p^sn$ 的所有不同 $\lambda$-常循环码的显式表示，其中 $s$ 和 $n$ 为满足 ${\rm gcd}(p,n)=1$ 的正整数。对于任意此类码，利用其规范形分解给出了该码的对偶码的表示。此外，得到了 $R$ 上长度为 $p^sn$ 的所有不同负循环码及其对偶码的表示，并确定了这些码的自对偶性。最后，对于任意正整数 $t$，列出了 $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上长度为 $2\cdot 5^s\cdot 3^t$ 的所有不同自对偶负循环码。