关于 $\mathbb{F}_{q}[u]/\langle u^4\rangle$ 上一类 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码

设 $\mathbb{F}_{q}$ 为基数为 $q$ 的有限域，$R=\mathbb{F}_{q}[u]/\langle u^4\rangle=\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}+u^2\mathbb{F}_{q}+u^3\mathbb{F}_{q}$ $(u^4=0)$ 为有限链环，$n$ 为满足 ${\rm gcd}(q,n)=1$ 的正整数。对于任意 $\delta,\alpha\in \mathbb{F}_{q}^{\times}$，给出了 $R$ 上长度为 $n$ 的所有不同 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码的显式表示，并确定了这些码中每一个的对偶码。对于 $q=2^m$ 且 $\delta=1$ 的情形，给出了 $R$ 上奇数长度 $n$ 的所有自对偶 $(1+\alpha u^2)$-常循环码。