$\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上第二类的一类重复根常循环码

设 $\mathbb{F}_{p^m}$ 为基数 $p^m$ 的有限域，其中 $p$ 为奇素数，$n$ 为满足 ${\rm gcd}(n,p)=1$ 的正整数，并记 $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$，其中 $e\geq 4$ 为偶整数。令 $\delta,\alpha\in \mathbb{F}_{p^m}^{\times}$。则 $R$ 上的 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码是 $R$ 上第二类常循环码的一个重要子类。对于任意整数 $k\geq 1$，给出了 $R$ 上长度为 $np^k$ 的所有不同 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码及其对偶码的显式表示与完整描述。此外，分别给出了每个码中码字数以及所有此类码的数量的公式。特别地，精确给出了 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^{e}\rangle$ 上长度为 $p^k$ 的所有不同 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码及其对偶码。