$\mathbb{F}_q^l$ 上的 $(\Theta, \Delta_\Theta, \mathbf{a})$-循环码及其构建量子码的应用

本文中，对于有限域 $\mathbb{F}_q$ 和自然数 $l,$ 记 $\mathcal{R}$ 为乘积环 $\mathbb{F}_q^l$。首先，对于 $\mathcal{R}$ 的一个自同构 $\Theta$，$\mathcal{R}$ 的一个 $\Theta$-导数 $\Delta_\Theta$ 以及 $\mathcal{R}$ 的一个单位 $\mathbf{a}$，我们研究 $\mathcal{R}$ 上的 $(\Theta, \Delta_\Theta, \mathbf{a})$-循环码。在此方向上，我们给出 $(\Theta, \Delta_\Theta, \mathbf{a})$-循环码的代数刻画，确定其生成多项式，并在 $\mathbb{F}_q$ 上的分解。其次，我们给出 $(\Theta, 0, \mathbf{a})$-循环码为 $\mathcal{R}$ 上的欧几里得偶包含码的必要充要条件。第三，我们研究灰度映射并获得若干在 $\mathbb{F}_q$ 上的 MDS 和最优线性码作为 $(\Theta, \Delta_\Theta, \mathbf{a})$-循环码在 $\mathcal{R}$ 上的灰度像。此外，我们确定保持正交性的灰度映射并构造参数良好的欧几里得偶包含码。最后，作为应用，我们通过采用欧几里得偶包含和消灰度包含 CSS 构造来构建 MDS 和准 MDS 量子码。