环 $\mathbb{F}_q[v]/(v^s-v)$ 上的 $m$-adic 剩余码及其在量子码中的应用

由于其丰富的代数结构，循环码在线性码中具有重要意义。二联码是二次剩余码（循环码的一种特例）的推广。$m$-adic 剩余码是二联码的推广。本文旨在研究商环 $\frac{{{\mathbb{F}_q}\left[ v \right]}}{{\left\langle {{v^s} - v} \right\rangle }}$ 上 $m$-adic 剩余码的结构。我们确定了商环 $\frac{{{\mathbb{F}_q}\left[ v \right]}}{{\left\langle {{v^s} - v} \right\rangle }}$ 上 $m$-adic 剩余码的幂等生成元。我们得到了关于环的 Griesmer 界的最优 $m$-adic 剩余码在商环 $\frac{{{\mathbb{F}_q}\left[ v \right]}}{{\left\langle {{v^s} - v} \right\rangle }}$ 上的一些参数。此外，我们导出了商环 $\frac{{{\mathbb{F}_q}\left[ v \right]}}{{\left\langle {{v^s} - v} \right\rangle }}$ 上 $m$-adic 剩余码包含其对偶码的条件。通过利用保正交 Gray 映射，我们由商环 $\frac{{{\mathbb{F}_q}\left[ v \right]}}{{\left\langle {{v^s} - v} \right\rangle }}$ 上含对偶的 $m$-adic 剩余码的 Gray 像构造了一族量子纠错码，并给出若干例子以说明我们的发现。