环 Fq + uFq + vFq + uvFq 上的 Galois LCD 码

在文献[anote]中，Wu 和 Shi 研究了有限链环 $\mathcal{R}=\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$（其中 $u^2=0$，$q=p^e$，$p$ 为素数，$e$ 为正整数）上的 $l$-Galois LCD 码。本文将结果推广到有限非链环 $\mathcal{R} =\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q+uv\mathbb{F}_q$，其中 $u^2=u, v^2=v$ 且 $uv=vu$。我们定义了 $\mathcal{R}$ 上线性码的 $l$-Galois 对偶与其在 $\mathbb{F}_q$ 上的分量码的 $l$-Galois 对偶之间的对应关系。进一步，我们从 $\mathcal{R}$ 上的线性码构造了 Euclidean LCD 码和 $l$-Galois LCD 码。由此我们证明，$\mathcal{R}$ 上的任何线性码都等价于 $\mathcal{R}$ 上的 Euclidean（$q>3$）LCD 码和 $l$-Galois LCD 码（$0<l<e$，且 $p^{e-l}+1\mid p^e-1$）。最后，我们研究了 $\mathcal{R}$ 上的 MDS 码。