有限非单位局部环上的 LCD 与自对偶码的分类

本文探讨了关于有限非交换非单位环 $E_p= \langle r,s ~|~ pr =ps=0,~ r^2=r,~ s^2=s,~ rs=r,~ sr=s \rangle$ 上的 LCD 与自对偶码，其中 $p$ 为素数。首先，我们研究了两个自由 $E_p$-线性码的单子等价。在此基础上，推导了自由 $E_p$-线性码为 MDS 与几近 MDS（AMDS）的必要充分条件。随后，我们利用这些结果对长度至 $6$ 的 $E_2$ 与 $E_3$ 上的 MDS 与 AMDS LCD 码进行了单子等价分类。接着，我们研究 $E_p$ 上的左自对偶码，并对长度至 $12$ 的 $E_2$ 与 $E_3$ 上的 MDS 与 AMDS 左自对偶码进行了分类。最后，我们研究 $E_p$ 上的自对偶码，对较小长度上的 MDS 与 AMDS 自对偶码进行了分类。