线性码的交集及相关具有新 Galois 核的 MDS 码

令 $\mathrm{SLAut}(\mathbb{F}_{q}^{n})$ 表示 $\mathbb{F}_{q}^{n}$ 上所有半线性等距的群，其中 $q=p^{e}$ 是素数幂。在本文中，我们研究了与 $\sigma\in\mathrm{SLAut}(\mathbb{F}_{q}^{n})$ 的 $\sigma$ 对偶相关联的线性码的一般性质。我们证明了两个线性码交集的维数可以由这些码及其 $\sigma$ 对偶的生成矩阵确定。我们还证明了线性码的 $\sigma$ 核的维数可以由其生成矩阵或其 $\sigma$ 对偶确定。我们给出了矩阵乘积码的 $\sigma$ 对偶和 $\sigma$ 核的刻画。我们还研究了一对矩阵乘积码的交集。我们提供了广义 Reed-Solomon (GRS) 码或扩展 GRS 码的任意码字包含在其 $\sigma$ 对偶中的充分必要条件。作为应用，我们构造了满足 $2(e-\ell)\mid e$ 且具有新 $\ell$-Galois 核的十一族 $q$ 元 MDS 码，这些码在 $\ell\neq \frac{e}{2}$ 时未被 Cao (IEEE Trans. Inf. Theory 67(12), 7964-7984, 2021) 和 Fang 等人 (Cryptogr. Commun. 14(1), 145-159, 2022) 的最新论文所涵盖。