矩阵乘积码及相关纠缠辅助量子纠错码的 $\sigma$ 包络

设 $\mathrm{SLAut}(\mathbb{F}_{q}^{n})$ 为 $\mathbb{F}_{q}^{n}$ 上所有半线性等距映射的群，其中 $q=p^{e}$ 为素数幂。矩阵乘积 (MP) 码是由多个共轨 classical 码组合而成的长程经典码，其生成矩阵由定义矩阵决定。我们给出计算 MP 码 $\sigma$ 包络维数的显式公式。结果表明，MP 码为 $\sigma$ 双包含和 $\sigma$ 自正交的必要充分条件得到了阐明。我们证明了 $\mathrm{dim}_{\mathbb{F}_{q}}(\mathrm{Hull}_{\sigma}(\mathcal{C}))=\mathrm{dim}_{\mathbb{F}_{q}}(\mathrm{Hull}_{\sigma}(\mathcal{C}^{\bot_{\sigma}}))$。进一步地，我们证明，对任意满足 $\mathrm{max}\{0,k_{1}-k_{2}\}\leq h\leq \mathrm{dim}_{\mathbb{F}_{q}}(\mathcal{C}_{1}\cap\mathcal{C}_{2}^{\bot_{\sigma}})$ 的整数 $h$，必存在一个单诺等价于 $\mathcal{C}_{2}$ 的线性码 $\mathcal{C}_{2,h}$，使得 $\mathrm{dim}_{\mathbb{F}_{q}}(\mathcal{C}_{1}\cap\mathcal{C}_{2,h}^{\bot_{\sigma}})=h$，其中 $\mathcal{C}_{i}$ 为 $[n,k_{i}]_{q}$ 线性码。我们进一步指出，给定 $[n,k,d]_{q}$ 线性码 $\mathcal{C}$，必存在一个单诺等价于 $\mathcal{C}$ 的 $[n,k,d]_{q}$ 线性码 $\mathcal{C}_{h}$，其 $\sigma$ 双码的最低距离为 $d'$，从而可构造 $[[n,k-h,d;n-k-h]]_{q}$ EAQECC 和 $[[n,n-k-h,d';k-h]]_{q}$ EAQECC。基于此，我们提出一种从与 $\sigma$ 包络相关的 MP 码中推导具有灵活参数的 EAQECC 的通用构造方法。