有限域上的特殊矩阵及其在量子纠错码中的应用

矩阵乘积（MP）码 $\mathcal{C}_{A,k}:=[\mathcal{C}_{1},\mathcal{C}_{2},\ldots,\mathcal{C}_{k}]\cdot A$，其中 $A$ 是一个列非奇异（NSC）矩阵，在构造好的量子纠错码中扮演着重要角色。在本文中，我们研究了当定义矩阵 $A$ 满足 $AA^{\dag}$ 是 $(D,\tau)$-单项矩阵条件时的 MP 码。我们给出了计算 MP 码厄米特壳维数的显式公式。我们分别提供了 MP 码是厄米特对偶包含（HDC）、几乎厄米特对偶包含（AHDC）、厄米特自正交（HSO）、几乎厄米特自正交（AHSO）和厄米特 LCD 的充要条件。我们从理论上分别确定了涉及分量码之间关系以产生具有这些性质的 MP 码的所有可能方式的数量。我们分别给出了 MP 码是 AHDC 和 AHSO 的替代充要条件，并展示了 MP 码不是 AHDC 或 AHSO 的几种情况。我们提供了 HDC 和 AHDC MP 码的构造方法，包括那些具有最优最小距离下界的方法。