多扭码伽罗瓦核的生成多项式矩阵

在本研究中，我们考虑特征为 $p$ 的有限域 $\mathbb{F}_{p^e}$ 上多扭（MT）码的欧几里得核与伽罗瓦核。设 $\mathbf{G}$ 为 MT 码 $\mathcal{C}$ 的生成多项式矩阵（GPM）。对任意 $0\le \kappa<e$，$\mathcal{C}$ 的 $\kappa$-伽罗瓦核记为 $h_\kappa\left(\mathcal{C}\right)$，是 $\mathcal{C}$ 与其 $\kappa$-伽罗瓦对偶的交集。本文的主要结果是，由 $\mathbf{G}$ 得到了 $h_\kappa\left(\mathcal{C}\right)$ 的一个 GPM。我们首先将线性码 $\mathcal{Q}_\mathbf{G}$ 与 $\mathbf{G}$ 相关联。我们证明 $\mathcal{Q}_\mathbf{G}$ 是准循环的。此外，我们证明 $h_\kappa\left(\mathcal{C}\right)$ 的维数是 $\mathcal{C}$ 的维数与 $\mathcal{Q}_\mathbf{G}$ 的维数之差。因此利用行列式因子导出了 $h_\kappa\left(\mathcal{C}\right)$ 维数的公式。最后，我们推导出 $h_\kappa\left(\mathcal{C}\right)$ 的 GPM 公式。特别地，我们处理了 $\kappa$-伽罗瓦自正交与线性互补对偶 MT 码的情形；建立了刻画这些情形的等价条件。由于循环码、常循环码、准循环码、广义准循环码与准扭码均为 MT 码的特殊情形，可立即推出它们的等价结果。一些包含最优码与最大距离可分码的数值例子被用于阐明理论结果。