多扭码的两侧 Galois 对偶

刻画具有丰富代数结构的线性码的对偶在近几十年受到极大关注。开端是将有限域上的循环码表示为多项式环中的理想。随后，常循环码、准循环码、准扭码、广义准循环码和多扭码的对偶研究在文献中广泛出现。我们考虑多扭（MT）码这一类，因为它推广了所有这些码。我们将一个 MT 码 $\mathcal{C}$ 描述为主理想整环上的模。因此，$\mathcal{C}$ 具有满足一个恒等方程的发生多项式矩阵（GPM）。$\mathcal{C}$ 的约化 GPM 是其 GPM 的 Hermite 标准形。我们证明 $\mathcal{C}$ 的欧几里得对偶 $\mathcal{C}^\perp$ 也是 MT 码。我们利用 $\mathcal{C}$ 的约化 GPM 的恒等方程，给出了 $\mathcal{C}^\perp$ 的 GPM 公式。接着我们旨在用 Galois 对偶替代欧几里得对偶。Galois 内积是一种非对称形式，因此我们区分右 Galois 对偶和左 Galois 对偶。我们证明 MT 码的右和左 Galois 对偶也是 MT 码，但可能具有不同的移位常数。我们的研究首次同时包含线性码的右和左 Galois 对偶。这带来两个优势：建立它们之间的相互恒等式，并引入文献中此前未出现的两侧 Galois 对偶。我们利用 MT 码的两侧 Galois 对偶为 MT 码的条件，从而刻画其 GPM。还研究了两种特殊情况，一种是右和左 Galois 对偶平凡相交，另一种是它们重合。后一种情况针对任意线性码考虑，建立了右和左 Galois 对偶相等的充要条件。