有限域上的 Λ-多重扭曲码及其对偶码

令 $\mathbb{F}_{q}$ 表示阶为 $q$ 的有限域，令 $m_1,m_2,\cdots,m_{\ell}$ 为满足 $\gcd(m_i,q)=1$（$1 \leq i \leq \ell$）的正整数，并令 $n=m_1+m_2+\cdots+m_{\ell}$。令 $\Lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{\ell})$ 固定，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{\ell}$ 是 $\mathbb{F}_{q}$ 的非零元素。在本文中，我们研究了 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $n$ 的 $\Lambda$-多重扭曲码关于 $\mathbb{F}_{q}^n$ 上标准内积的代数结构及其对偶码。我们给出了 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $n$ 的自对偶 $\Lambda$-多重扭曲码存在的充要条件，并获得了所有自对偶和自正交 $\Lambda$-多重扭曲码的计数公式。我们还推导了 $\Lambda$-多重扭曲码为 LCD 码的一些充分条件。我们确定了 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $n$ 的所有 $\Lambda$-多重扭曲码的校验多项式，并得到了它们的最小 Hamming 距离的一个 BCH 型界。我们还从某些 $\Lambda$-多重扭曲码的生成集确定了其在 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $n$ 的对偶码的生成集。此外，我们通过将这些码视为某些级联码的直接和，为 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $n$ 的所有 $\Lambda$-多重扭曲码提供了迹描述，从而导出了一种构造这些码的方法。我们还利用它们的多级级联结构得到了其最小 Hamming 距离的下界。