关于 Galois 环上准递归 MDS 矩阵

设 $p$ 为素数，$s,m,n$ 为正整数。本文研究 Galois 环 $GR(p^{s}, p^{sm})$ 上准递归 MDS 矩阵，并提出各种直接构造方法。该构造基于 skew polynomial rings $GR(p^{s}, p^{sm})[X;\sigma]$，其丰富的因式分解性质和扩充多项式类别用于定义产生准递归 MDS 矩阵的 companion 矩阵。首先，建立两个判据用于表征产生递归 MDS 矩阵的多项式，推广了现有结果；随后，基于关联 Wedderburn 多项式的 right 根，推导另一个判据。利用这些判据，发展出构造产生准递归 MDS 矩阵的 skew 多项式的方法。该框架将已知构造推广到非交换情境，显著扩大了可用矩阵的范围，具有潜在的用于高效扩散层在密码学原语中的应用。结果在 $s = 1$ 且 $p = 2$ 时尤为 relevant，即在有限域 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上，这在实际密码学应用中具有中心意义。