关于 Involutory 与 Orthogonal MDS 矩阵的新见解

MDS 矩阵在块密码和哈希函数的扩散层设计中发挥关键作用，因其拥有最优分支数。Involutory 和 Orthogonal MDS 矩阵通过允许加密和解密使用相同或近似相同电路，进而实现两种过程的等效实现成本，这些属性进一步通过半-involutory 和半-orthogonal 矩阵的概念得到推广。虽然已有文献大量关注识别可有效实现的 MDS 候选者或提出 various 阶数 MDS 矩阵的新构造，但本文采取不同方向。本工作不引入新构造，也不优先考虑实现效率，而是考察这些广义变体与其传统对应物之间的结构关系。具体而言，我们在半-involutory 与 involutory 矩阵之间以及 semi-orthogonal 与 orthogonal 矩阵之间建立了非平凡的相互关系。利用这些关系，我们展示半-involutory MDS 矩阵的数量可直接从 involutory MDS 矩阵的数量中推导，反之亦然。类似的对应关系也适用于 semi-orthogonal 与 orthogonal MDS 矩阵。我们还检查了这些类的交集，表明既为 semi-involutory 又为 semi-orthogonal 的 3×3 MDS 矩阵数量等于 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上 semi-involutory MDS 矩阵的数量。此外，我们推导了 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上任意阶数 $n$ 正交矩阵的一般结构。最终，凭借上述相互关系，我们提出了一种替代且直接的推导 3×3 semi-involutory MDS 矩阵和 3×3 semi-orthogonal MDS 矩阵显式计数公式的方法。