关于循环矩阵 MDS 属性的注记

2014 年，Gupta 和 Ray 证明了有限域 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的循环反演矩阵不能是最大距离可分离 (MDS) 的。这种非存在性也延伸至特征为 2 的有限域上阶数为 $2^d \times 2^d$ 的循环正交矩阵。这些发现激发了许多作者为构建具有实际应用价值的轻量级 MDS 矩阵而推广循环属性。近期，2022 年，Chatterjee 和 Laha 首次通过考虑半反演和半正交属性来研究循环矩阵。本文进一步探讨了具有上述特征的循环矩阵在有限域 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的情况。值得注意的是，我们建立了关联矩阵及其对角矩阵迹与矩阵 MDS 属性之间的关系。我们证明了该关联对所有阶数的半正交矩阵以及半反演矩阵均成立。此外，我们提供示例表明，在特征为 2 的有限域上，奇数阶的循环半正交矩阵的关联对角矩阵迹可能具有非零值。