g-循环矩阵的 MDS 属性

循环最大距离可分离(MDS)矩阵因在 AES 块密码的扩散层中的应用而获得重要地位。在2013年，Gupta 和 Ray 证明了阶数大于3的循环反演矩阵不能为 MDS。此发现促使了循环矩阵和矩阵反演性质的广泛推广。2016年，Liu 和 Sim 通过改变循环矩阵的置换方式引入了循环矩阵。1961年，Friedman 引入 g-循环矩阵，后者构成循环矩阵的一个子类。本文首先讨论具有反演和 MDS 属性的 g-循环矩阵。我们证明了阶数为 $k \times k$ 的 g-循环反演矩阵除非 $g \equiv -1 \pmod k$ 否则不能为 MDS。随后，我们深入研究了来自有限域的 g-循环半反演和半正交矩阵。我们确立了阶数为 $k \times k$ 的 g-循环半正交(半反演)矩阵的相关对角矩阵的 k 次方导致标量矩阵。这一发现可视为对2022年Chatterjee 等人关于循环矩阵结果的扩展。