一种构造所有 $4\times 4$ 对合 MDS 矩阵的系统化方法

最大距离可分矩阵不仅在编码理论中发挥着关键作用，在分组密码和哈希函数的设计中也同样至关重要。其中尤为引人关注的是对合 MDS 矩阵，它便于在硬件实现中使用单一电路同时进行加密和解密。在本文中，我们给出了偶数阶对合 MDS 矩阵的若干刻画。此外，我们引入了一种新的矩阵形式以获取所有偶数阶对合 MDS 矩阵，并将其与文献中现有的其他矩阵形式进行了比较。随后，我们提出了一种在有限域 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上系统构造所有 $4 \times 4$ 对合 MDS 矩阵的技术。该方法通过聚焦于对合 MDS 类代表矩阵显著缩小了搜索空间，从而在相较于考虑所有 $4 \times 4$ 对合矩阵而言小得多的集合内生成所有此类矩阵。具体而言，我们的方法涉及在基数为 $(2^m-1)^5$ 的集合内搜索这些代表矩阵。通过该方法，我们明确枚举了 $m=3,4,\ldots,8$ 时 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上 $4 \times 4$ 对合 MDS 矩阵的总数。