关于对合 MDS 矩阵的计数

MDS 矩阵的最优分支数确立了其在设计各类分组密码与哈希函数扩散层中的重要性。因此，包括 Hadamard 矩阵与循环矩阵在内的众多矩阵结构被提出用于构造 MDS 矩阵。此外，文献中通常重点关注识别具有最优实现或在各阶上提出新构造的 MDS 候选。然而，本文采取不同思路，不强调效率问题或引入新构造，而是以枚举域 F_{2^r} 上 4 阶 Hadamard MDS 与对合 Hadamard MDS 矩阵为主要目标。具体而言，给出了 F_{2^r} 上 4 阶 Hadamard MDS 与对合 Hadamard MDS 矩阵数量的显式公式。此外，推导了 F_{2^r} 上每行恰有一个零元的 4 阶 Hadamard 近 MDS（NMDS）与对合 Hadamard NMDS 矩阵的计数。进而，本文讨论了一些类循环矩阵构造 NMDS 矩阵，并证明当 n 为偶数时，任意 2n×2n 的 II 型类循环矩阵不可能为 NMDS 矩阵。虽已知 NMDS 矩阵可能奇异，本文确立奇异 Hadamard 矩阵绝不可能为 NMDS 矩阵。并且证明在 F_{2^r} 上恰存在两个 4 阶 I 型类循环正交矩阵。