关于 Near-MDS 矩阵的构造

MDS 矩阵的最优分支数使其成为许多分组密码和哈希函数中设计扩散层的首选。然而,在轻量级密码学中,具有次优分支数的 Near-MDS (NMDS) 矩阵作为扩散层相比 MDS 矩阵在安全性与效率间提供了更好的平衡。本文研究 NMDS 矩阵,探讨其在递归与非递归设定下的构造。我们给出了若干理论结果,并探讨了 NMDS 矩阵构造的硬件效率。此外,我们在可能时对比了 NMDS 与 MDS 矩阵的结果。对于递归方法,我们研究了 DLS 矩阵并给出其应用的一些理论结果,其中部分结果用于限制 DLS 矩阵的搜索空间。我们还证明在特征为 2 的域上,任意阶数 $n\geq 4$、固定 XOR 值为 1 的稀疏矩阵在取 $k\leq n$ 次幂时不能是 NMDS 矩阵。随后,我们利用广义 DLS (GDLS) 矩阵给出了若干轻量级递归 NMDS 矩阵,其在硬件开销或迭代次数上优于现有矩阵。对于 NMDS 矩阵的非递归构造,我们研究了多种结构,如循环与左循环矩阵,及其推广:Toeplitz 与 Hankel 矩阵。此外,我们证明在特征为 2 的域上,阶数 $n>4$ 的 Toeplitz 矩阵不能同时为 NMDS 与对合矩阵。最后,我们利用 GDLS 矩阵给出了一些可在一个时钟周期内计算的轻量级 NMDS 矩阵。所提出的 4、5、6、7、8 阶非递归 NMDS 矩阵在 $\mathbb{F}_{2^4}$ 上分别可用 24、50、65、96、108 次 XOR 实现。