混合精度HODLR矩阵
数值分析
2025-01-10 v5 数值分析
摘要
分层矩阵计算在科学与工程界受到广泛关注，因为利用数据稀疏结构可以显著降低许多重要核函数的计算复杂度。该类方法中特别流行的一种是分层非对角低秩（HODLR）格式。在本文中，我们证明HODLR矩阵中由低秩矩阵近似的非对角块可以用低精度表示，而不会退化整体近似的质量（误差增长被限制在一个因子 以内）。我们还提出了一种用于构建和存储HODLR矩阵的自适应精度方案，并证明混合精度的使用不会损害所得HODLR矩阵-向量乘法和LU分解的数值稳定性。也就是说，这些计算中的所得误差不会显著大于使用单一精度（例如双精度）构建和存储HODLR矩阵的情况。我们的分析进一步给出了关于如何在HODLR矩阵计算中选择工作精度相对于近似误差以避免有限精度效应的直观理解。当HODLR矩阵受到高度近似误差时，后续计算可以在较低精度下进行而不产生不利影响。我们通过一系列数值实验验证了理论结果的有效性。
引用
@article{arxiv.2407.21637,
title = {Mixed precision HODLR matrices},
author = {Erin Carson and Xinye Chen and Xiaobo Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.21637},
year = {2025}
}