反问题中Hessian的层次化离对角低秩近似及其在冰盖模型初始化中的应用

在由偏微分方程（PDEs）控制的反问题中，获得轻量且精确的Hessian近似，是使确定性和贝叶斯统计大规模反问题在计算上可行的一项关键任务。稠密线性代数例程（如从高斯提议分布采样以及通过直接线性方法的Newton求解所需的）的O(N^3)计算复杂度，可利用层次化离对角低秩（HODLR）矩阵近似降低至对数线性复杂度。本工作中，我们证明了一类由PDE控制的反问题所产生的Hessian可被HODLR矩阵格式很好地近似。具体而言，我们研究了由模拟冰盖瞬时黏性流动的PDE所控制的反问题。在这些问题中，我们寻求一个空间分布的底部滑动参数场，使得冰盖模型预测的流动与冰盖表面速度观测一致。我们展示了HODLR近似的用途，通过高效生成Hessian近似，从而能够快速从高斯化后验提议分布中采样。所开展的计算研究阐明了冰盖问题的若干 regime，其中Gauss-Newton数据失配Hessian比低秩（LR）格式更有效地被HODLR矩阵格式近似。随后，我们通过研究与Humboldt冰川和格陵兰冰盖上的Stokes流动模型所控制反问题相关的数据失配Hessian，证明了对于大规模问题，与全局低秩近似相比HODLR近似更具优势。