贝叶斯反问题中后验协方差矩阵的低秩计算
数值分析
2018-07-20 v1
摘要
我们考虑使用贝叶斯推断来估计统计反问题中不确定性的问题。当噪声和先验的概率密度为高斯分布时，此类统计反问题的解也是高斯分布。因此，潜在的解由后验概率密度的均值和协方差矩阵表征。然而，后验概率密度的协方差矩阵是满秩且庞大的。因此，对于大维参数空间，计算这样的矩阵是不可能的。结果表明，对于许多不适定问题，数据失配部分的 Hessian 矩阵具有低数值秩，因此可以采用低秩方法来近似后验协方差矩阵。对于这种低秩近似，需要在空间和时间上求解正向偏微分方程（PDE）和伴随 PDE。这反过来使得计算和存储的复杂度均为 ，其中 是空间域的维度， 是时间域的维度。对于大型问题，这样的计算和存储需求是不可行的。为了克服这一障碍，我们开发了一种新方法，将最近开发的低秩时间算法与低秩 Hessian 方法相结合。我们将计算复杂度和存储需求从 降低到了 。我们使用数值实验来说明我们方法的优势。
引用
@article{arxiv.1703.05638,
title = {Low-rank computation of posterior covariance matrices in Bayesian inverse problems},
author = {Peter Benner and Yue Qiu and Martin Stoll},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.05638},
year = {2018}
}