线性高斯逆问题中最优低秩后验均值与分布逼近

我们构造了线性高斯逆问题中关于可能的可分离 Hilbert 空间参数空间和有限维数据空间的 Gaussian后验分布的最优低秩近似。我们首先考虑均值可变且后验协方差固定的近似后验，针对所有可能的数据实现。我们给出这些近似后验等价于精确后验的必要且充分条件。对于这些近似，我们使用 Kullback-Leibler、Renyi 和 Amari $\alpha$-divergences 对于 $\alpha\in(0,1)$，以及 Hellinger 距离衡量数据平均近似误差。在 Kullback-Leibler 和 Renyi 散度下的损失下，我们找到最优的近似并提出其唯一性的等价条件，扩展了 Spantini 等人在有限维中工作 (SIAM J. Sci. Comput. 2015)。随后我们考虑均值和协方差的联合低秩近似。对于 reverse Kullback-Leibler 散度，均值和协方差的最优近似导致均值和协方差的最优联合近似。我们将其中一种联合近似解释为参数空间中的最优投影器，并显示该近似等价于解决一个使用投影前向模型的贝叶斯逆问题。大量数值示例演示了我们的理论发现的一些方面。