希尔伯特空间线性逆问题中最优低秩后验协方差近似

对于具有高斯先验和高斯观测噪声的线性逆问题，后验分布是高斯分布，其均值和协方差由条件公式确定。协方差是不确定性量化的核心对象，因为它编码了后验分布的变异性，从而编码了后验均值估计中的不确定性。利用Feldman-Hajek定理，我们分析了无限维希尔伯特参数空间和有限维观测下的先验到后验更新及其低秩近似。我们证明了后验分布与先验分布在一个有限维子空间上不同，并在保持均值固定的同时，构造了后验协方差的低秩近似。在无限维中，并非所有低秩协方差近似都能产生与后验和先验分布等价的后验分布近似，因此我们刻画了能够产生这种等价性的低秩协方差近似及其相应的“精度”（逆）。对于此类近似，通过同时识别在各种损失下最优的低秩近似，解决了一族度量近似问题。这些损失函数包括Rényi散度族、α∈(0,1)的Amari α-散度、Hellinger度量以及Kullback-Leibler散度。我们的结果将Spantini等人（SIAM J. Sci. Comput. 2015）的结果推广到希尔伯特参数空间，并通过制定与离散化无关的结果，为构造无限维逆问题离散版本的近似提供了理论基础。