Hilbert 空间中参数化低秩逼近的可测性与连续性：线性算子与随机变量
数值分析
2025-09-22 v2 数值分析
摘要
我们提出了一套统一的理论框架，用于参数化低秩逼近，这一研究领域致力于开发充当传统方法（如奇异值分解 SVD、正交分解 POD 和主成分分析 PCA）的有效算法。应用场景包括，例如参数相关偏微分方程的数值处理，其中算子随参数变化；以及纵向数据的统计分析，其中会收集类似音频信号和图像等复杂测量数据。最近涌现出多种自适应算法，但缺乏统一的数学基础，现有解决方案仍受限于特定应用。结果是，诸如最优参数化低秩逼近器是否存在以及其正则性等关键理论问题仍未得到充分解决。我们的目标是通过在最小假设下建立严格的框架来弥合理论与实践之间的鸿沟，具体focus于参数化要么是可测的，要么是连续的情形。在可分离希尔伯特空间的语境下进行分析，确保其适用于有限维和无限维情形。最后，讨论了与近期在深度学习文献中涌现的趋势的关联，这些趋势对于工程和数据科学具有重要意义。
引用
@article{arxiv.2409.09102,
title = {Measurability and continuity of parametric low-rank approximation in Hilbert spaces: linear operators and random variables},
author = {Nicola Rares Franco},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.09102},
year = {2025}
}