线性高斯逆问题的 optimal low-rank 近似：第一部分——后验协方差近似

对于线性逆问题，若先验和观测噪声均为高斯分布，则后验分布为高斯分布，其均值和协方差由条件公式决定。利用 Feldman-Hajek 定理，我们分析了从先验到后验的更新及其低秩近似，针对无限维希尔伯特参数空间和有限维观测。我们证明，后验分布相对于先验而言仅在有限维子空间中发生差异，并构造了保持均值不变的后验协方差低秩近似。由于在无限维情况下，并非所有低秩协方差近似都能产生与后验分布及先验分布等价的近似后验分布，因此我们刻画了哪些低秩协方差近似能够实现这种等价性，以及它们各自的逆（即精度矩阵）。对于此类近似，解答了一系列测度近似问题，通过确定哪些低秩近似同时对各种损失函数最优。这些损失函数包括 R\'enyi 发散族、Amari $\alpha$-发散（其中 $\alpha\in(0,1)$）、Hellinger 度量和 Kullback-Leibler 散度。我们的结果扩展了 Spantini 等人（2015 年《SIAM J. Sci. Comput.》）的工作，适用于希尔伯特参数空间，并通过制定无限维逆问题的离散化不依赖于网格的离散化低秩近似，提供了理论依据。