由偏微分方程反问题产生的 Hessian 算子的分层矩阵逼近
数值分析
2020-03-24 v1 数值分析
摘要
由偏微分方程（PDEs）控制的反问题中产生的 Hessian 算子在实现确定性反问题的牛顿解以及贝叶斯设定下后验的马尔可夫链蒙特卡洛采样的效率、维度无关收敛方面起着关键作用。这些方法需要能够反复在 Hessian 上执行诸如与任意向量相乘、求解线性系统、求逆以及（逆）平方根等操作。遗憾的是，Hessian 是一个（形式上）稠密、隐式定义的算子，对于实际反问题显式形成它是难以处理的，所需 PDE 求解次数与反演参数一样多。当数据包含关于参数的有限信息时，低秩逼近是有效的，但随着数据信息量增大而变得难以承受。然而，实际应用中出现的许多反问题的 Hessian 可以被具有分层低秩结构的矩阵很好地逼近。分层矩阵表示有望克服稠密表示的高复杂度，并提供仅有对数线性复杂度的有效数据结构与矩阵运算。在本工作中，我们描述了构造和更新 Hessian 分层矩阵逼近的算法，并在若干代表性反问题上加以说明，涉及含时扩散、平流主导输运、频域声波传播和低频 Maxwell 方程，展示了相比全局低秩逼近最高达一个数量级的加速。
引用
@article{arxiv.2003.10173,
title = {Hierarchical Matrix Approximations of Hessians Arising in Inverse Problems Governed by PDEs},
author = {Ilona Ambartsumyan and Wajih Boukaram and Tan Bui-Thanh and Omar Ghattas and David Keyes and Georg Stadler and George Turkiyyah and Stefano Zampini},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.10173},
year = {2020}
}