非线性反问题迭代求解器中 Hessian 的极化张量近似

对于许多偏微分方程的反参数问题,当区域中仅包含相互分离良好的对象时,存在涉及“极化张量”的前向问题的渐近解。这些是包含体尺寸和材料对比度的函数,从而描述了非线性的饱和部分。因此,这些渐近展开可实现小而孤立对象的快速稳定重建。在本文中,我们推导了数据失配项的近似对角 Hessian 矩阵,展示了此类渐近级数如何应用于非线性最小二乘重建问题。Hessian 矩阵常在应对非线性中发挥关键作用,生成良好的更新方向,将解加速推向可能位于长弯曲谷中的全局极小,但计算代价可能使直接计算不可行。由于极化张量近似假定包含体之间充分分离,我们的近似 Hessian 不考虑反问题中因缺乏叠加性而产生的非线性。但它确实考虑了数据随材料对比度增大而变化所呈现的非线性饱和。因此我们建议将其用作拟牛顿格式的初值 Hessian。针对电阻抗断层成像的情况进行了数值实验验证,但该方法可应用于任何具有等价渐近展开的其他问题。我们给出了关于近似 Hessian 精度和重建性能的数值实验,提供了该重建方案的原理证明。