所有 MDS 与对合 MDS 矩阵的构造

在本文中，我们分别提出了两种算法，用于在有限域 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上混合构造所有 $n\times n$ MDS 矩阵和对合 MDS 矩阵。所提出的算法有效地缩小了搜索空间以识别 $(n-1) \times (n-1)$ MDS 矩阵，从而促进了在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上生成所有 $n \times n$ MDS 矩阵和对合 MDS 矩阵。据我们所知，现有文献缺乏在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上生成所有 $n\times n$ MDS 矩阵和对合 MDS 矩阵的方法。在我们的方法中，我们引入了一种表示矩阵形式，用于在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上生成所有 $n\times n$ MDS 矩阵和对合 MDS 矩阵。确定这些代表性 MDS 矩阵涉及在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上搜索所有 $(n-1)\times (n-1)$ MDS 矩阵。我们的贡献还包括证明了 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $3\times 3$ MDS 矩阵的数量恰好为 $(2^m-1)^5(2^m-2)(2^m-3)(2^{2m}-9\cdot 2^m+21)$。此外，我们明确给出了当 $m=2, 3, 4$ 时，$\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $4\times 4$ MDS 矩阵和对合 MDS 矩阵的数量。