关于 $g$-循环 MDS 矩阵的推广

域 $\mathbb{F}_q$ 上的矩阵 $M$ 若其所有平方子矩阵均非奇元，称为\emph{最大距离可分离} (MDS)。这种 MDS 矩阵在密码学和编码理论中至为重要，因为它们提供强大的数据保护，并有助于高效地扩散信息。本文引入一种新型矩阵，称为\emph{consta-$g$-循环矩阵}，它延续了 $g$-循环矩阵的思想。这些矩阵来源于定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的线性变换，其对应的多项式为 $h(x) = x^m - \lambda + \sum_{i=0}^{m-1} h_i x^i$。我们找到了此类矩阵存在的上界，并给出判定其是否可逆的条件。这有助于我们判断其是否为 MDS 矩阵。如果多项式 $x^m - \lambda$ 分解为 $x^m - \lambda = \prod_{i=1}^{t} f_i(x)^{e_i}$，其中每个 $f_i(x)$ 都是不可约的，则构成 consta-$g$-循环矩阵的可逆矩阵数量为 $N \cdot \prod_{i=1}^{t} \left( q^{\deg f_i} - 1 \right)$，其中 $r$ 为 $\lambda$ 的乘法序数，$N$ 为满足 $0 \leq k < \left\lfloor \frac{m - 1}{r} \right\rfloor + 1 \quad \text{且} \quad \gcd(1 + rk, m) = 1$ 的整数 $k$ 的个数。该公式帮助我们减少判断此类矩阵是否为 MDS 矩阵时需要检查的案例数。此外，我们给出了阶为 3 和 4 的 $g$-循环 MDS 矩阵的完整分类。更进一步地，灵感来自 skew 多项式环，我们构造了一种新的 $g$-循环矩阵变体。最后，我们提供一些与本研究相关的示例。