包含矩阵与 MDS 猜想

设 F_q 为阶 q 特征 p 的有限域。弧是 (F_q)^k 中至少 k 个向量的有序族，其中每个大小为 k 的子族是 (F_q)^k 的基。MDS 猜想由 Segre 于 1955 年提出，陈述若 k <= q，则 (F_q)^k 中的弧大小至多为 q+1，除非 q 为偶且 k=3 或 k=q-1，此时大小至多为 q+2。我们提出一个猜想，它将蕴含当 q 为奇时 MDS 猜想对几乎所有 k 值成立。我们在两种情况下证明我们的猜想，从而给出当 k <= p 以及若 q 非素数则 k <= 2p-2 时 MDS 猜想更简单的证明。为此，给定 (F_q)^k 的弧 G 和非负整数 n，我们构造矩阵 M_G^{\uparrow n}，其与包含矩阵（组合学中深入研究过的对象）相关。我们的主要结果将矩阵 M_G^{\uparrow n} 的代数性质与弧 G 的性质联系起来，并可能为大弧的计算分类提供新工具。