MDS 椭圆曲线码的最大长度问题

椭圆曲线上产生的最大距离可分离 (MDS) 码的最大长度是编码理论中的核心问题。对于椭圆曲线 $E$ 上的 $\mathbb{F}_q$，记 $\operatorname{MEC}(k,q)$ 为维数为 $k$ 的 $q$ 进制 MDS 椭圆码的最大长度。最近证明当 $q\ge289$ 且 $3\le k\le(q+1-2\sqrt{q})/10$ 时，$\operatorname{MEC}(k,q)\le\frac{q+1}{2}+\sqrt{q}$，且当 $q$ 为奇数平方数且 $k$ 为奇数时等号成立。本文考察剩余的开放案例，即偶维数 $k$、非平方 $q$ 以及特征为 2 的域，并对两个自然奇偶范数 $q+1+\lfloor2\sqrt{q}\rfloor$ 的紧致性问题给出完整解答。我们证明若 $G$ 的支持由 $\mathbb{F}_q$ -有理点组成，则在偶 $k$ 时界值为 $\frac{q+1}{2}+\sqrt{q}-1$。若不受此限制，我们构造达到 $\frac{q+1}{2}+\sqrt{q}$（偶 $k$）的 MDS 码。更一般地，我们证明当 $q+1+\lfloor2\sqrt{q}\rfloor$ 为偶数时，$\operatorname{MEC}(k,q)=\frac{q+1+\lfloor2\sqrt{q}\rfloor}{2}$；当其为奇数时，$\operatorname{MEC}(k,q)=\frac{q+\lfloor2\sqrt{q}\rfloor}{2}$。