扩展代数几何码的对偶码与覆盖半径

许多文献考虑了扩展 Reed-Solomon (RS) 码，包括其对偶码和覆盖半径，但鲜少关注亏格为 $g\ge1$ 的扩展代数几何 (AG) 码。在本文中，我们研究了扩展 AG 码和 Roth-Lempel 型 AG 码，包括其对偶码和最小距离。此外，我们证明了对于某些 $g$，有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $g$-MDS 码的长度可以达到 $q+1+2g\sqrt{q}$，这是由亏格为 $g$ 的极大曲线上的扩展 AG 码实现的。值得注意的是，对于某些小的有限域，该长度 $q+1+2g\sqrt{q}$ 是所有已知 $g$-MDS 码中最大的。随后，我们确立了 $[n,k]$ 扩展 AG 码的覆盖半径具有 $g+2$ 个可能的值。对于 $g=1$ 的情况，我们证明了当长度 $n$ 足够大，或者存在 $[n,k+1]$ MDS 椭圆码时，该范围缩减为两个可能的值。