$\PG(3,2^m)$中$\mathrm{Regular}$循环$(q+1)$-弧：谱刚性、下降与MDS准则

设$q=2^m$且$m\ge 3$，则设$n:=q+1$。我们研究 admits 具有秩为$n$的正则循环子群$C\le \mathrm{PGL}(4,q)$的$(q+1)$-弧$\mathcal{A}\subset \mathrm{PG}(3,q)$。在$K=\mathbb{F}_{q^2}$上，此类作用可共轭为对角化形式，产生显式的循环单项式模型\n \mathcal{M}_a = \{[1:t:t^a:t^{a+1}]:t\in U_n}\subset \mathrm{PG}(3,K), \qquad U_n=\{u\in K^\times:u^n=1\}, \n其中$a\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$。我们发展了谱刚性原理，以获得精确的下降准则：$\mathcal{M}_a$在$K$上的射影等价于定义域$\mathbb{F}_q$上的$(q+1)$-弧，当且仅当$a\equiv \pm 2^e \pmod n$，其中$e$满足$\gcd(e,m)=1$。因此，正则循环对$(\mathcal{A},C)$恰好分为$\varphi(m)/2$个$K$射影等价类。作为即时的编码理论应用，我们解决了Xu等人研究的BCH族$\mathcal{C}_{(q,q+1,3,h)}$的剩余AMDS/MDS二分法：$\mathcal{C}_{(q,q+1,3,h)}$当且仅当$2h+1\equiv \pm 2^e \pmod n$（其中$e$满足$\gcd(e,m)=1$）为MDS。所述谱刚性步骤在$\mathrm{PG}(r,K)$中对角正则循环对的一般化设置下给出，为射影等价问题提供了可搬迁的简化，将问题归结为指数数据上的显式同余条件。