Singer型循环弧与有限域上的强正则Cayley图

在\cite{M18}中，第一作者利用三值Gauss周期给出了有限域加法群上强正则Cayley图的一种构造。特别地，结合\cite{BLMX}中的结果，证明了在以下情形存在具有负拉丁方型参数$(q^6,r(q^3+1),-q^3+r^2+3r,r^2+r)$的强正则Cayley图，其中$r=M(q^2-1)/2$：(i) $M=1$且$q\equiv 3\,(\mod{4})$；(ii) $M=3$且$q\equiv 7\,(\mod{24})$；以及(iii) $M=7$且$q\equiv 11,51\,(\mod{56})$。对于奇数$M>7$，上述参数的强正则Cayley图的存在性尚属开放问题。本文中，我们证明：若存在$h$，$1\le h\le M-1$，使得$M\,|\,(h^2+h+1)$且$2$在$({\bf Z}/M{\bf Z})^\times$中的阶为奇数，则存在无穷多个素数$q$，使得具有上述参数的强正则Cayley图存在。