块大小为四的循环相对差族及其应用

给定群 $(G,+)$ 的子群 $H$，一个 $(G,H,k,1)$ 差族（DF）是 $G$ 的 $k$ 元子集的集合 $\mathcal F$，使得 $\{f-f':f,f'\in F, f\neq f',F\in \mathcal F\}=G\setminus H$。令 $g\mathbb Z_{gh}$ 为 $\mathbb Z_{gh}$ 中由 $g$ 生成的 $h$ 阶子群。一个 $(\mathbb Z_{gh},g\mathbb Z_{gh},k,1)$-DF 称为循环的，并记作 $(gh,h,k,1)$-CDF。本文证明了对于 $h\in\{2,3,6\}$，存在 $(gh,h,4,1)$-CDF 当且仅当 $gh\equiv h\pmod{12}$，$g\geq 4$ 且 $(g,h)\notin\{(9,3),(5,6)\}$。作为一个推论，证明了 1-旋转 S$(2,4,v)$ 存在当且仅当 $v\equiv4\pmod{12}$ 且 $v\neq 28$。这解决了关于 1-旋转 S$(2,4,v)$ 存在性的长期未决问题。作为另一个推论，我们建立了对于任意正整数 $v\equiv 1,2,3,4,6\pmod{12}$ 且 $v\neq 25$，具有 $\lfloor(v-1)/12\rfloor$ 个码字的最优 $(v,4,1)$-光正交码的存在性。我们还给出了我们的结果在块大小为四的循环群可分组设计以及重量为四、最小距离为六的最优循环 $3$ 元常重码上的应用。