关于由 APN 单项式生成的几类循环码的重量分布

设 $m\geq 3$ 为奇整数，$p$ 为奇素数。本文通过考察循环码 $\mathcal{C}_{(1,d)}$ 和 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 具有相同重量分布的条件，提出了许多类定义在 $\mathbb{F}_{p}$ 上的三重量循环码，其中这两个码的校验多项式分别为 $m_1(x)m_d(x)$ 和 $m_1(x)m_e(x)$，而 $m_i(x)$ 是 $\mathbb{F}_{p^m}$ 的本原元 $\pi$ 的逆元 $\pi^{-i}$ 在 $\mathbb{F}_{p}$ 上的极小多项式。对于 $p=3$ 的情形，所提出的五类循环码的对偶码在满足线性码某些界的意义下是最优的。此外，对于 $p\equiv 3 \pmod{4}$ 且存在整数 $k$ 满足 $\gcd(m,k)=1$ 以及 $\tau\in\{0,1,\cdots, m-1\}$ 使得 $(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^{\tau}\pmod{p^m-1}$ 的正整数 $e$，确定了两个指数和 $T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}\omega^{\Tr(ax+bx^e)}$ 和 $S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}\omega^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}$（其中 $s=(p^m-1)/2$）的值分布。作为应用，利用 $S(a,b,c)$ 的值分布研究了校验多项式为 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$ 的循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的重量分布。在 $p=3$ 且 $e$ 为满足上述条件的偶数的情形下，循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 的对偶码具有最优最小距离。