几类最小距离为 4 的最优 $p$ 元循环码

循环码是线性码的一个子类，因其高效的编码与译码算法而在数据存储系统、通信系统和消费电子中有广泛应用。令 $p\ge 5$ 为奇素数，$m$ 为正整数。令 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 表示具有三个非零元 $\alpha$、$\alpha^e$ 和 $\alpha^s$ 的 $p$ 元循环码，其中 $\alpha$ 是 ${\mathbb F}_{p^m}^*$ 的生成元，$s=\frac{p^m-1}{2}$，$2\le e\le p^m-2$。本文通过分析有限域上某些多项式的解，给出四类参数为 $[p^m-1,p^m-2m-2,4]$ 的最优 $p$ 元循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。先前关于参数为 $[5^m-1,5^m-2m-2,4]$ 的最优五元循环码的一些结果是本文构造的特例。此外，通过分析 ${\mathbb F}_{5^m}$ 上某些多项式的不可约因子，我们给出两类最优五元循环码 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。