一类 $p$ 元循环码及其重量枚举子

设 $m$、$k$ 为正整数且满足 $\frac{m}{\gcd(m,k)}\geq 3$，$p$ 为奇素数，$\pi$ 为 $\mathbb{F}_{p^m}$ 的本原元。设 $h_1(x)$ 和 $h_2(x)$ 分别为 $-\pi^{-1}$ 和 $\pi^{-\frac{p^k+1}{2}}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的极小多项式。在 $\frac{m}{\gcd(m,k)}$ 为奇数的情况下，当 $k$ 为偶数且 $\gcd(m,k)$ 为奇数，或当 $\frac{k}{\gcd(m,k)}$ 为奇数时，Zhou 等人于 \cite{zhou} 中获得了校验多项式为 $h_1(x)h_2(x)$ 的一类 $\mathbb{F}_p$ 上循环码 $\mathcal{C}$ 的重量分布。本文进一步研究了 $\frac{m}{\gcd(m,k)}$ 为奇数的剩余情况以及 $\frac{m}{\gcd(m,k)}$ 为偶数的情况下的该类 $\mathbb{F}_p$ 上循环码 $\mathcal{C}$。此外，我们确定了循环码 $\mathcal{C}$ 的重量分布。