区组大小为4且类型为$g^u b^1 (gu/2)^1$的可分组设计

我们讨论区组大小为4且类型为$g^u b^1 (gu/2)^1$的可分组设计，其中$u = 5$、6和7。对于整数$a$和$b$，我们证明如下。(i) 类型为$(4a)^5 b^1 (10a)^1$的4-GDD存在的充要条件是$a \ge 1$、$b \equiv a$ (mod 3)且$4a \le b \le 10a$。(ii) 类型为$(6a+3)^6 b^1 (18a+9)^1$的4-GDD存在的充要条件是$a \ge 0$、$b \equiv 3$ (mod 6)且$6a+3 \le b \le 18a + 9$。(iii) 类型为$(6a)^6 b^1 (18a)^1$的4-GDD存在的充要条件是$a \ge 1$、$b \equiv 0$ (mod 3)且$6a \le b \le 18a$。(iv) 类型为$(12a)^7 b^1 (42a)^1$的4-GDD存在的充要条件是$a \ge 1$、$b \equiv 0$ (mod 3)且$12a \le b \le 42a$，除可能例外：$12a \in \{120, 180, 240, 360, 420, 720, 840\}$且$24a < b < 42a$；$12a \in \{144, 1008\}$且$30a < b < 42a$；以及$12a \in \{168, 252, 336, 504, 1512\}$且$36a < b < 42a$。