类型为 $\bf 3^n u^1$ 的有孔Schröder设计

类型为 $h_1^{n_1}h_4^{n_2}\cdots h^{n_k}_k$ 的有孔Schröder设计（HSD$(h_1^{n_1}h_4^{n_2}\cdots h^{n_k}_k)$）等价于阶为 $n$ 的框架幂等Schröder拟群（FISQ$(h_1^{n_1}h_4^{n_2}\cdots h^{n_k}_k)$），其具有 $n_i$ 个阶为 $h_i, 1 \le i \le k$ 的缺失子拟群（孔），这些孔互不相交且张成（即 $\sum_{1\le i \le k}n_ih_i = n$）。已知 $h=1, 2, 4$ 时HSD$(h^nu^1)$ 的存在性。本文考虑HSD$(3^nu^1)$ 的存在性，并证明对于 $0\le u \le 15$，HSD$(3^nu^1)$ 存在的充要条件是 $n(n + 2u -1) \equiv 0~(mod~4)$、$n\ge 4$ 且 $n\ge 1+2u/3$。对于 $0 \le u \le n$，HSD$(3^nu^1)$ 存在的充要条件是 $n(n + 2u -1) \equiv 0~(mod~4)$ 且 $n \ge 4$，可能的例外为 $n = 29, 43$。我们还发现了六个类型为 $(4^nu^1)$ 的新HSD。