具有正交行且非对角元绝对值为 $1$ 的循环矩阵

已知具有对角元 $d\geq0$、非对角元 $\pm1$ 且行正交的实对称循环矩阵仅存在于阶 $2d+2$（以及平凡地存在于阶 $1$）[Turek and Goyeneche 2019]。本文考虑这些矩阵的复厄米类比。即，我们研究具有正交行、对角元 $d\geq0$ 且非对角处任意绝对值为 $1$ 的复元素的厄米循环矩阵的存在性与构造。作为一个特例，我们考虑非对角元为四次单位根的矩阵；我们证明任何此类且 $d$ 不等于奇整数的矩阵之阶为 $n=2d+2$。我们还讨论了在有限环 $\mathbb{Z}_m$ 上定义的对称循环矩阵的类似问题。作为我们结果的一个应用，我们展示了与互无偏基（量子信息论中的一个重要开放问题）的密切联系。