关于环 $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^t \rangle}$ 上的多循环码及其基数

本文旨在研究环 $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^t \rangle}$（$t \geq 1$）上的多循环码及其关联的挠码。我们证明，若 $\phi$ 是从交换环 $A$ 到诺特环 $B$ 的满同态且 $\ker(\phi)=\langle \pi\rangle$，则对 $A$ 的任意理想 $I$，存在 $a_1,a_2,\dots,a_n \in I$ 使得 $I=\langle a_1,a_2,\dots,a_n\rangle+\pi(I:\pi)$。利用此结果，我们获得了环 $\frac{\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^t \rangle}[x]}{\langle \omega(x)\rangle}$ 的所有理想的生成元，其中 $\omega(x)\in \frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^t \rangle}[x]$。当 $\omega(x)=f(x)^{p^s}$，其中 $f(x)$ 是 $\mathbb{F}_{p^m}[x]$ 中的不可约多项式且 $s$ 为非负整数时，我们获得了若干其他结果，包括计算 $t=4$ 时的挠理想及其挠次数。我们利用挠次数来计算环 $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^4 \rangle}$ 上多循环码的基数。