$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ 上的一类常循环码及其在量子码中的应用

我们引入一个从 $\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ 到 $\mathbb{F}_{2}^{2m}$ 的 Gray 映射，并研究 $\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ 上的 $(1+u)$-常循环码，其中 $u^{2}=0$。证明了在 Gray 映射下，$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ 上长度为 $n$ 的 $(1+u)$-常循环码的像是 $\mathbb{F}_{2}$ 上指数为 $m$、长度为 $2mn$ 的距离不变准循环码。我们还证明了长度为 $2mn$ 且为 $\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ 上长度为 $n$ 的循环码的 Gray 像的每一个码，都置换等价于一个指数为 $m$ 的二元准循环码。此外，通过将对 $(1+u)$-常循环码应用 Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造，得到了一类量子纠错码。