支持更多 $t$-设计的线性码无限族

Tang 与 Ding [IEEE IT 67 (2021) 244-254] 研究了窄本原 BCH 码 $\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$ 及其对偶码（其中 $q=2^m$），并确立这些码中最小（或次最小）重量的码字支持 4-设计或 3-设计的无限族。受此启发，我们进一步研究此类码中相邻下一重量的码字，并发现了更多 $t=3,4$ 的 $t$-设计无限类。特别地，我们证明当 $m \geqslant 5$ 为奇数时 $\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$ 中重量为 $7$ 的码字支持 $4$-设计，当 $m \geqslant 4$ 为偶数时支持 $3$-设计，这给出了具有新参数的简单 $t$-设计的无限类。本文产生的另一重要 $t$-设计类具有参数为 4-$(2^{2s+1}+ 1,5,5)$ 的补设计；这些设计在全部已知的由码导出的简单 4-$(q+1,5,\lambda)$ 设计（其中 $q$ 为素数幂）中具有最小的指数；并进一步被证明同构于 Alltop 于 1969 年构造的、以射影一般线性群 PGL$(2,2^{2s+1})$ 为自同构群的 4-设计。