支持4-设计的一族无限线性码

第一个支持 $4$-设计的线性码是 Golay 于 1949 年发现的 $[11, 6, 5]$ 三元 Golay 码。在过去的 71 年里,人们发现了支持 $4$-设计或 $5$-设计的零散线性码,并构造了许多支持 $3$-设计的无限族线性码。然而,是否存在支持 $t\geq 4$ 的 $t$-设计无限族的无限族线性码这一问题悬而未决达 71 年之久。本文通过给出 $\mathrm{GF}(2^{2m+1})$ 上长度为 $2^{2m+1}+1$ 的 BCH 码的一族无限族,其支持 $4$-$(2^{2m+1}+1, 6, 2^{2m}-4)$ 设计的无限族,解决了这一长期未决的问题。此外,还给出了一族支持球面设计 $S(3, 5, 4^m+1)$ 的线性码。