保持 $t$-设计的近 MDS 码无限族

一个 $[n, k, n-k+1]$ 线性码称为 MDS 码。一个 $[n, k, n-k]$ 线性码被称为几乎最大距离可分（几乎 MDS 或简称 AMDS）。若一个码及其对偶码均为几乎最大距离可分，则称该码为近最大距离可分（近 MDS 或简称 NMDS）。第一个近 MDS 码是 1949 年由 Golay 发现的 $[11, 6, 5]$ 三元 Golay 码。该三元码保持 $4$-设计，其扩展码保持具有已知最大强度的 Steiner 系统 $S(5, 6, 12)$。在过去 70 年中，发现了保持 $t$-设计的零星近 MDS 码，并构造了许多有限域上的近 MDS 码无限族。然而，是否存在保持 $t\geq 2$ 的 $t$-设计无限族的近 MDS 码无限族这一问题，70 年来一直悬而未决。本文通过给出 $\mathrm{GF}(3^s)$ 上保持 $3$-设计无限族的近 MDS 码无限族，以及 $\mathrm{GF}(2^{2s})$ 上保持 $2$-设计无限族的近 MDS 码无限族，解决了这一长期问题。还研究了这两族码的子域子码，并证明它们在维数或距离上是最优的。